Základy elektrotechniky

 

Ing. Jiří Vlček

 

Soubory Zákl.1 – 4 jsem zpracoval pro studenty a radioamatéry k bezplatnému používání. Žádám uživatele, aby tuto publikaci v rámci svých možností co nejvíce šířili a aby neměnili a nevynechávali informace o mých dalších publikacích. V případě větších úprav a dalšího šíření publikace prosím v úvodu o jejich popis a a o uvedení jména jejich autora.

 

Úvod

            Tato publikace seznamuje čtenáře se základy elektroniky: Definice základních veličin, Ohmův zákon, sériové a paralelní řazení rezistorů, základních metod řešení lineárních obvodů. Další kapitoly se zabývají elektrostatickým polem (kapacita kondenzátoru), magnetismem (permanentní magnet, cívka, elektromagnetická indukce), střídavým proudem (řešením RLC obvodů pomocí fázorů a komplexních čísel) a polovodiči (dioda, tranzistor).

Publikace je vhodná nejen pro 1. a 2 ročník SPŠE, ale i pro všechny technické a všeobecné střední školy a SOU, kde se elektrotechnika probírá.

V zájmu úspory nákladů chci tuto publikaci šířit digitálně jako soubory Wordu (zakl 1, 2, 3, 4). Jejich celková velikost je dohromady přibližně 1 MB, což umožňuje jejich snadný přenos disketou nebo mailem. Doporučuji nespojovat do jednoho souboru. Při kopírování doporučuji zkontrolovat správnost řeckých písmen a jiných speciálních znaků, v různých verzích Wordu mohou mít jiné fonty.

Při kreslení obrázků mám určitá technická omezení, prosím čtenáře o pochopení. Je třeba si uvědomit, že potřebná kapacita paměti by byla při zpracování dokonalejším programem asi stokrát větší.

 

Proudové pole

 

Veličiny proudového pole

            Elektrický proud je dán uspořádaným pohybem elektrických nábojů v určitém směru

I = Q/t[A, C : s].

Proud 1 A představuje náboj jednoho coulombu, který projde vodičem za 1 sekundu. Elektrický proud značíme písmenem I, jednotkou je ampér (A). Definujeme jej pomocí silových účinků proudového pole. Elektrický náboj značíme Q a udáváme jej v coulombech (C). V každém atomu existuje kladný náboj – proton a záporný náboj – elektron. Náboj nelze od částice oddělit. Nejmenší velikost má náboj elektronu. Označujeme jej e = 1.602 . 10^-19C. (1C = 6,242 . 10¹⁸ elektronů). Hmotnost elektronu m_e = 9,11 . 10^-28kg.

Elektrický náboj se udává často v ampérhodinách (Ah). 1 Ah = 3 600 As = 3 600 C. Touto veličinou se udává např. náboj (nepřesně kapacita) baterie.

            Příčinou elektrického proudu je zdroj elektrické energie, který vytváří elektrické napětí. Značíme jej U a udáváme jej ve voltech (V). Mezi dvěma body je napětí 1V, pokud k přenesení náboje 1 C mezi nimi musíme vykonat práci 1 J.

U = A/Q [V,J,C]

Vodič se průchodem proudu zahřívá. Nosiče náboje – (nejčastěji volné elektrony kovů) narážejí na jádra atomů a způsobují jejich pohyb – teplo.

Proudová hustota J = I/S, udává se v ampérech na m² (častěji v A/mm²). Aby se vodič průchodem proudu příliš nezahříval, nemá být proudová hustota obvykle vyšší než 4 A/mm² (platí pro měď nebo hliník).

Příklad: Vodičem prochází proud 0,5 A. Vypočítejte jeho minimální průměr, pokud nesmí být překročena proudová hustota 4 A/mm².

S = I/J = 0,5/4 = 0,125 (mm²)

S = πd²/4          d = Ö (4S/π) = 0,4 mm

Výsledek zaokrouhlíme nahoru na nejbližší vyráběnou hodnotu.

Intenzita elektrického pole E udává jak se mění napětí v závislosti na délce vodiče l, udáváspád napětí.

E = U/l   (V/m, V, m)

Proud a napětí jsou veličiny skalární – celkové. Používají se pro homogenní proudové pole. Proudová hustota a intenzita elektrického pole jsou veličiny vektorové – místní. Používají se v nehomogenním (nestejnorodém) elektrickém poli.

 

Ohmův zákon – elektrický odpor

Elektrický odpor R vyjadřuje vlastnosti prostředí, kterým prochází elektrický proud. Každý vodič má elektrický odpor. Součástka, jejíž základní vlastností je odpor, se nazývá rezistor (hovorově též odpor, není ale správné)

R = U/I (Ω, V, A)

Jednotkou elektrického odporu jsou ohmy (kiloohmy kΩ, megaohmy MΩ). V slaboproudé technice je výhodnější často dosazovat napětí ve voltech, proud v miliampérech a odpor v kiloohmech. Vodič má odpor 1 ohm, jestliže na něm při proudu 1 A naměříme úbytek napětí 1 V.

            O platnosti Ohmova zákona se můžeme přesvědčit jednoduchým pokusem:

Připojíme rezistor k regulovanému zdroji napětí, pro měření proudu zapojíme ampérmetr A (do série s rezistorem), pro měření napětí voltmetr V (paralelně s rezistorem). Postupně zvyšujeme napětí zdroje, do tabulky zapíšeme naměřené hodnoty proudu a napětí. Naměřené hodnoty graficky znázorníme.

            Závislost proudu na napětí (voltampérová – VA charakteristika) je přímka, která prochází počátkem souřadnic. Říkáme, že závislost napětí a proudu je lineární, rezistor je tedy lineární součástka. Obvod složený pouze z lineárních součástek se nazývá lineární obvod. Nahradíme-li původní rezistor R₁ jiným (v tomto případě menším) rezistorem R₂ získáme jiné hodnoty. Pro každý rezistor bude platit, že poměr napětí a proudu je vždy konstantní (VA charakteristika je přímka).

 

Obrázek č. 1  Ověření Ohmova zákona (V= voltmetr, A= ampérmetr)

            Stejných výsledků bychom dosáhli, kdybychom místo rezistorů použili vodiče z různých materiálů, různé délky a různého průřezu. Elektrický odpor je charakteristickou vlastností každého vodiče.

            Odpor vodiče je přímo úměrný jeho délce, nepřímo úměrný jeho průřezu. Vlastnosti materiálu popisuje veličina měrný odpor ς (rezistivita), která se číselně rovná odporu vodiče 1 m dlouhého o průřezu 1 m².

            Odpor vodiče R = ς .l/S (Ω, Ω . m, m, m²)

V praxi se udává měrný odpor jako odpor vodiče dlouhého 1 m o průřezu 1 mm² (Ω . mm² m^-1)

            Převrácenou hodnotou elektrického odporu je vodivost. Značí se G, jednotka siemens (S). Vodič má vodivost 1 siemens, má-li odpor 1 Ω. Obdobně definujeme měrnou vodivost G = 1/R = I/U (S, A, V) = g S/l, kde g = 1/ ς je měrná vodivost

Teplotní závislost odporu

Měrný odpor se udává při teplotě 20 °C. S rostoucí teplotou jeho hodnota u kovů roste (tepelný pohyb atomů překáží pohybu volných elektronů). U nevodičů a polovodičů se naopak s rostoucí teplotou zvyšuje pravděpodobnost roztržení vazby mezi ionty nebo uvolnění elektronů. Tím se odpor snižuje.

            Teplotní závislost měrného odporu na teplotě udává koeficient a - teplotní součinitel odporu (K^-1). Číselně vyjadřuje poměr změny odporu při ohřátí o 1 K k jeho původní velikosti. Velikost odporu v závislosti na oteplení bude R = R₂₀ [1 + a(t – 20 °C)], kde R₂₀ je velikost odporu při teplotě 20 °C.

            Nejlepšími vodiči jsou stříbro, měď a hliník. Nejpoužívanější je měď. Stříbro je příliš drahé. Hliník je sice levnější než měď, snadno se ale láme, vlivem tlaku se deformuje (uvolnění kontaktů na svorkovnicích a velmi těžko se pájí).

            Zlato se používá k povrchové úpravě kvalitních konektorů

Existují speciální slitiny (konstantan, manganin) a s minimálním teplotním součinitelem odporu.

Kov	měrný odpor (Wmm2m-1)	a (K-1)
stříbro	0,016 3	0,004
měď	0,017 8	0,004 2
hliník	0,028 5	0,004
zlato	0,023	0,003 7
železo	0,1	0,005 5
konstantan	0,5	2.10-6

 

Z výše uvedených vztahů I = J . S, U = E . l, R = V l/S po dosažení do Ohmova zákona U = R . I získáme vztah mezi proudovou hustotou a intenzitou elektrického pole. (Ohmův zákon v diferenciálním tvaru) E = V J               J = g E. Tyto vztahy platí v každém místě vodiče. Jejich sumarizaci v homogenním prostředí vznikne integrální tvar Ohmova zákona U = R . I

Příklad: Jak velký odpor má měděný vodič délky 15 m o průměru 0,1 mm? Jaký úbytek napětí na něm vznikne, protéká-li jím proud 0,1 A?

S = p d²/4 = 3,14 . 0,1²/4 = 0,00785 mm²

R = V . l/S = 0,0178 . 15/0,00785 = 34 Ω

U = R . I = 34 . 0,1 = 3,4 V.

Vidíme, že příliš malý průměr vodiče ve srovnání s protékajícím proudem není vhodný (ve výše uvedeném případě 12,73 A/mm²). Vzniká na něm velký úbytek napětí, vodič se zahřívá a může se přepálit (viz dále).

Pro srovnání vypočítáme stejný příklad pro d = 0,4 mm.

S = 0,125 mm², R = 2,1 W. Zvětšením průměru 4krát se odpor vodiče zmenšil 16krát.

 

Příklad: Jaký musí být průměr měděného vodiče, který je dlouhý 2 m, aby na něm při proudu 4 A byl úbytek napětí 0,5 V?

R = U/I = 0,5/4 = 0,125 Ω

S = V l/R = 0,0178 . 2/0,125 = 0,285 mm²

d = Ö (4S/π) = Ö0,3628 = 0,6 mm

 

Příklad: O kolik procent vzroste odpor měděného vinutí transformátoru při zvětšení teploty z 20°C?

R = R₂₀ (1 + a (t₂ - 20)) = R₂₀ (1 + 0.0042 . (60 - 20)) = R₂₀ (1 + 0,168)

Odpor vzroste o 16,8 %.

 

Příklad: Jak dlouhý musí být měděný vodič, aby měl při teplotě 100 °C odpor 0,8 Ω při průměru 1,5 mm².

R₁₀₀ = R₂₀ (1 + 0,0042 . 80) = 1,336 . R ₂₀

R₂₀ = R₁₀₀ /1,384 = 0,8 / 1,384 = 0,599 Ω = 0,6 Ω

S = πd²/4 = 3,14 . 1,5²/4 = 1,766 mm²

l = R₂₀ . S/ = 0,6 . 1,766/0,0178 = 59,53 m

 

Práce, výkon a tepelné účinky elektrického proudu

Z definice napětí (práce potřebná k přenesení náboje) můžeme snadno odvodit vztah mezi výkonem, proudem a napětím (Joule-Lencův zákon)

A = Q . U = I . t . U                 P . t = I . t . U              P = I . U (W, A, V)

Tímto vzorcem je možné také definovat napětí: 1 volt je napětí, při němž se na vodiči proudem 1 A vyvine výkon 1 W.

Elektrická práce, kterou vykoná stejnosměrný proud mezi dvěma místy v proudovém obvodu za určitou dobu je dána napětím U mezi těmito místy, proudem I a dobou t, po kterou tento proud obvodem prochází.

            Elektrický proud, který obvodem prochází je vlastně pohybem elektrických nábojů, který koná práci. Práce se mění v teplo.

            Ztrátový výkon na vodiči nebo na rezistoru můžeme po dosazení do Ohmova zákona vypočítat ze vztahů:

P = U . I = U²/R = R.I²

Při výpočtu používáme kterýkoliv z těchto vzorců. U výše uvedených příkladů vypočítejte ztrátový výkon na vodiči všemi způsoby, ověřte shodnost výsledků.

Při daném odporu vodiče jsou tepelné ztráty na vodiči úměrné druhé mocnině procházejícího proudu. Při přenosu elektrické energie na velkou vzdálenost používáme vysokých napětí a tím i malých proudů, abychom tyto ztráty snížili na minimum.

            Elektrickou práci udáváme buď v joulech (wattsekunda) nebo v kilowatthodinách

1 kWh = 3,6 . 10⁶ J

V elektrických zařízeních (motor, transformátor) dochází k přeměně energie z jedné formy na druhou. Využití energie není nikdy stoprocentní, část energie se ztrácí ve formě tepla. Definujeme příkon P₁, výkon P₂ a účinnost h

 h = 100 % . P₂/P₁ (%, W, W)

 

Příklad: Topnou spirálou vařiče prochází při napětí 220 V proud 2.5 A. Jakou práci vykoná elektrický proud za 40 minut? Jaký je příkon vařiče?

P = U . I = 220 . 2,5 = 550 W – příkon vařiče

A = P . t = 550 . 40 . 60 = 1 320 000 J = 0,367 kWh

 

Příklad: Motor odebírá při napětí 230 V proud 1,2 A. Jaký je jeho výkon, pokud účinnost je 90%.

P₁ (příkon) = U . I = 230 . 1,2 = 276 W

P₂ (výkon) = P₁ . h = 276 . 0,9 = 248,4 W

 

Příklad: Na rezistoru 100 Ω jsme naměřili úbytek napětí 5 V. Jak velký proud jím teče a jak velký je ztrátový výkon?

R = U/I = 5/100 = 0,05 A = 50 mA

P = U²/R = 5²/100 = 0,25 W nebo P = U . I = 5 . 0.05 = 0,025 W

 

Příklad: Rezistor má hodnotu 4,7 Ω a maximální dovolené výkonové zatížení 0,2 W. Jak velký proud jím může protékat a pak velké napětí na něm může trvale být?  

U = Ö(PR) = Ö(0,2 . 4,7) = Ö0,94 = 0,97 V

I =Ö(P/R) = Ö(0,2/4,7) = Ö0,04255 = 0,206 A

 

Vážení čtenáři, chci Vás tímto seznámit se svými publikacemi, které tvoří ucelený soubor poznatků z  oboru elektro v rozsahu probíraném na SPŠE. Věřím, že Vám usnadní další studium. Při jejich vytváření jsem se řídil těmito zásadami:

1/ Použití moderní součástkové základny (OZ, obvod 555, monolitické stabilizátory, obvody CMOS, HC, procesory PIC, technologie SMT, digitální modulace

2/ Jednoduchost. Snažím se celou elektroniku „převyprávět“ tak, aby byla srozumitelná všem, nepoužívám vyšší matematiku.

3/ Spojení teorie a praxe. Teorii se snažím vysvětlovat pomocí praktických příkladů. Publikace obsahují velké množství snadno realizovatelných konstrukčních návodů. Plošné spoje jsem navrhl tak, aby jejich výroba byla možná i v amatérských podmínkách a aby jejich osazení nedělalo problémy ani začátečníkům. Dodávám plošné spoje (nevrtané, lakované), sady součástek, případně i trafo a přední panel. Doufám, že si budete moci tyto publikace a stavebnice objednávat prostřednictvím Vaší školy. Ušetří se tak peníze za poštovné.

 

Zdroje napětí a proudu

Zdroje dodávají do elektrického obvodu napětí a proud a tím i výkon. Zdrojem stejnosměrného napětí je nejčastěji baterie (akumulátor), kde vzniká napětí a proud díky chemickým reakcím. Zdrojem střídavého napětí jsou nejčastěji generátory v elektrárnách. Ze střídavého napětí můžeme vyrobit stejnosměrné v přístroji, který se nazývá laboratorní zdroj.

            Vývody stejnosměrného zdroje označujeme + a - . Technický směr proudu byl dříve zaveden od + k -. K později se zjistilo, že směr pohybu elektronů, které jsou nositeli proudu je opačný. Při řešení obvodů používáme ideální zdroje. Ideální zdroj napětí dává konstantní napětí bez ohledu na velikost odebíraného proudu. U skutečného zdroje dochází vždy při odběru proudu k poklesu svorkového napětí. Napětí zdroje naprázdno nazýváme vnitřní napětí zdroje U_i. V sérii s tímto zdrojem je vnitřní odpor zdroje R_i.

            Závislost svorkového napětí na odebíraném proudu vyjadřuje zatěžovací charakteristika. Ve většině případů (lineární zdroje) se jedná o přímku, která spojuje 2 body U_i a I_k, kde I_k je zkratový proud zdroje I_k = U_i/R_i . U většiny zdrojů musíme zajistit, aby nepracovaly do zkratu, jinak hrozí jejich zničení akumulátory (např. autobaterie) mají velmi malý vnitřní odpor (řádově 0,1 Ω, jejich zkratový proud je 100-200 A. Tepelné účinky tohoto proudu mohou být nebezpečné.

            Běžné tužkové monočlánky mají vnitřní odpor řádově 1 Ω, při zkratu se silně zahřejí a brzy se zničí.

            Laboratorní (stabilizovaný) zdroj se chová jako ideální zdroj napětí. Při překročení přednastaveného proudového odběru (jednotky miliampér až jednotky ampér) dojde k prudkému poklesu napětí, aby se zdroj nezničil nebo se nepoškodily obvody k němu připojené. Odpor sítě (400/230 V) je rovněž velmi malý. Proti zkratu je rozvod napětí chráněn jističi. Zkratový proud by jinak poškodil vedení a mohl způsobil požár.

            Ideální zdroj proudu má nekonečně velký vnitřní odpor. Dodává do zátěže stále stejný proud nezávisle na velikosti připojené zátěže.

 

Obrázek. a/ Schematická značka a zatěžovací charakteristika ideálního zdroje napětí b/ Schematická značka a zatěžovací charakteristika ideálního zdroje proudu.

c/ Náhradní schéma a zatěžovací charakteristika skutečného lineárního zdroje.

 

            Zdroje napětí můžeme bez problémů zapojovat do série za účelem zvýšení napětí. Při paralelním zapojení na účelem zvýšení odběru proudu je nutná velká opatrnost. Zdroje musí mít stejné s vnitřní napětí i vnitřní odpor, jinak hrozí jejich zničení vyrovnávacími proudy.

1.Kirhoffův zákon – algebraický součet proudů do uzlu vstupujících se rovná součtu proudů z uzlu vystupujících. Uzel je místo, kde se stýkají 2 nebo více vodičů. Tento zákon je v podstatě zákonem zachování elektrického náboje. Znaménkem, které proudům přiřadíme, rozlišujeme proudy do uzlu vstupující (např. +) a proudy z uzlu vystupující (např. -).

Jako příklad si odvodíme vzorec pro paralelní řazení rezistorů

Pro uzel A platí: I = I₁ + I₂  do tohoto vztahu dosadíme:

I₁ = U/R₁                I₂ = U/R₂          R = U/I                        na všech rezistorech je stejné napětí

U/R = U/R₁ + U/R₂            vydělíme U

1/R = 1/R₁ + 1/R₂            častěji uvádíme ve tvaru R = (R₁R₂)/(R₁+R₂)

2. Kifhoffův zákon – algebraický součet svorkových napětí zdrojů a všech úbytků napětí na spotřebičích v uzavřené smyčce se rovná 0 nule. Smyčka je uzavřená dráha v části obvodu. Tento zákon je zákonem zachování energie.

            Při průchodu náboje elektrickým polem vzniká práce. Napětí na každém spotřebiči je dáno prací potřebnou k přemístění náboje. Projde-li náboj po uzavřené dráze musí být tato nulová, náboj se vrátí do místa stejného potenciálu (potenciál = napětí vůči referenčnímu uzlu – zemi).

            Jako příklad použití si odvodíme vzorec pro sériové řazení rezistorů.

R₁I + R₂I – U_o = 0

(R₁ + R₂) I = U_o          R = U_o/I           R = R₁ + R₂     všemi rezistory teče stejný proud

 

 

 

Obrázek: Odvození vzorce pro a / paralelní (dělič proudu)  b / sériové (dělič napětí) řazení rezistorů

            V obvodu vyznačíme šipkou smysly proudů v jednotlivých smyčkách. Směr proudu si můžeme zvolit libovolně. Pokud proud vyjde záporný, znamená to, že jeho směr je opačný.

            Vyjdeme od zvoleného uzlu a postupujeme smyčkou stále stejným směrem. Součiny R . I zapisujeme jako kladné, pokud je-li směr proudu totožný se směrem našeho postupu ve smyčce.

 

Dělič napětí

Z obrázku sériového zapojení rezistorů si odvodíme důležitý vztah pro dělič napětí

U₁ = R₁ I          U₂ = R₂ I          U = (R₁ + R₂) . I

U₁ /U = R₁ I /(R₁ + R₂) I = R₁/(R₁ + R₂)

 

Příklad: Jaký je výsledný odpor paralelního spojení dvou rezistorů o hodnotách l kΩ?

R = R₁R₂/(R₁+R₂)= 1/2 (kΩ)

Zapamatujte si, že odpor paralelního spojení dvou stejných rezistorů se rovná polovině hodnoty tohoto rezistoru.

            Přidáme-li k rezistoru paralelně jiný, jeho odpor se vždy zmenší.

 

Příklad: O kolik procent se sníží odpor, přidáme-li k rezistoru 4,7 kΩ rezistor 47 kΩ?

R = 4,7 . 47 /(4,7 + 47) = 4,273 kΩ = 90,9 % původní hodnoty. Pro přibližný odhad (abyste při experimentování nemuseli pořád brát do ruky kalkulačku) doporučuji předpokládat, že přidání paralelního rezistoru 10x (100x) většího sníží odpor daného rezistoru o 10 ( 1) %.

 

Příklad: Odhadněte odpor paralelního spojení dvou rezistorů 10 kΩ a 15 kΩ.

Odhad: Výsledný odpor je podobný jako odpor paralelního spojení dvou rezistorů 12,5 kΩ (aritmetický průměr obou hodnot ) 6,25 kΩ)

Výpočet: 10 . 15 / (10+15) = 6 kΩ         příliš se neliší od odhadu

 

Příklad: Navrhněte dělič napětí z 12 V na 5 V.

U₁ =  U . R₁/(R₁+R₂)                5 = 12 . R₁/(R₁+ R₂)

5/12 = R₁/(R₁+R₂)                           5/7 = R₁/R₂

Úloha má nekonečně mnoho řešení, po která platí, že R₁ : R₂ = 5 : 7. Vidíme, že napětí na rezistorech se v sériovém zapojení dělí v poměru jejich velikostí.

 

Příklad: Navrhněte dělič napětí z 10 V na 4 V tak, aby jím tekl proud maximálně 5 mA

Pro hodnoty R₁ a R₂ v mezním případě platí

R₁ + R₂ = U/I = 10/5 = 2 kΩ (dosazujeme V, mA, kW, je to pohodlnější)

R₁/R₂ = 4/6 – R₁ = 2 R₂/3

Máme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou dále upravíme:

2 R₂/3 + R₂ = 2             5 R₂/3 = 2         R₂ = 6/5 = 1,2 kΩ         R₁ = 0,8 kΩ

 

Příklad: Jak se změní napětí z předchozího příkladu, když k děliči (paralelně k rezistoru R_1, jak je naznačeno na výše uvedeném obrázku) připojíme paralelně rezistor 500 Ω. Jaký bude potom proud děličem?

R₁´ = 0,8 . 0,5/ (0,5 + 0,8) = 0,4/1,3 = 0,31 kΩ (nové hodnoty označíme čárkou)

U₁´ = 10 . 0,31/ (0,31 + 1,2) = 2,05 V     I´ = U/(R₁´+ R₂) = 6,62 mA

Vidíme, že zatížením děliče rezistorem podobné velikosti, jako jsou rezistory v děliči, se napětí podstatně sníží, odběr proudu se zvýší.

 

Příklad: K děliči napětí složeném ze dvou rezistorů o hodnotách 1 kΩ připojíme paralelně k rezistoru R₁ rezistor 10 kΩ. Jak se změní výstupní napětí U₁?

Původní napětí: U₁ = U_o/2 = 0,5 U_o

Nová hodnota rezistoru R₁´ = 1 . 10/(1+10) = 0,909 kΩ

Nové napětí: U₁ = U_o . R₁/(R₁+R₂) = U_o . 0,909/1,909 = 0,476 U_o

Napětí na děliči kleslo přibližně o 5%.

Čím větší rezistor k děliči zapojíme, tím menší bude změna výstupního napětí.

 

Příklad: Navrhli jsme dělič napětí U_o = 12 V, R₁ = 1 kΩ, R₂ = 3 kΩ

Napájecí (vstupní) napětí U₀ se ale změnilo z 12 V na 10 V. Jak musíme upravit R₂, aby výstupní napětí děliče zůstalo zachováno? 

U₁ = 12 . 1/(3+1) = 3 V            původní napětí na děliči            

U₁ = 10 . 1/(3+1) = 2,5 V          nové napětí na děliči                

U₁ = U_o´ . R₁/(R₁+R₂´)  napětí na děliči po změně obvodu

3 = 10 . 1 /(1 + R₂´)

R₂´= 7/3 = 2.33 kΩ                   R₂ musíme změnit na 2,33 kΩ

Druhý způsob: Proud děličem musí zůstat stejný

I = U_o/(R₁+R₂) = 3 mAnebo I = U₀^´/ (R₁+R₂´) =  3 mA

na R₂´ bude úbytek napětí 10 – 3 = 7 V

R₂´ = 7/3 = 2,33 kΩ

K původnímu rezistoru R₂ musíme přidat rezistor R_p (pokud R₂ nechceme vyletovat z desky) tak, aby platilo R₂´ = R₂ . R_p /R₂ + R_p

2,33 = 3 R_p/(3 + R_p)                  7 + 2,33 R_p = 3R_p                            7 = 0,66 R_p      

10,60 kW = R_p

 

Příklad: Ke zdroji napětí U = 30 V jsou zapojeny v sérii 3 rezistory R₁  = 5 kΩ, R₂ = 3 kΩ, R₃ = 7 kΩ. Jaké napětí na nich bude?

Platí: U₁ + U₂ + U₃ = U = 30 V             U₁ : U₂  : U₃ = 5 : 3 : 7

U₁ = 10 V, U₂ = 6V, U₃ = 14 V

2. způsob: Vypočítáme proud tekoucí obvodem a z Ohmova zákona vypočítáme napětí na rezistorech.

I = U/ (R₁ + R₂  + R₃) = 30 / (5+3+7) = 2 mA

U₁ = 2R₁ = 10 V                      U₂´= 2 R₂ = 6 V   U₃ = 2 R₃  = 14 V

Nakonec zkontrolujeme, zda platí 2. Kirhoffuv zákon (kdyby náhodou neplatil, byla by ve výsledku chyba) U = U₁ + U₂ + U₃

Příklad Ke zdroji napětí 12 V jsou paralelně připojeny rezistory R₁ = 1 kΩ, R₂ = 4 kΩ a R₃ = 2 kW. Vypočítejte proud tekoucí tímto obvodem a výsledný odpor této kombinace rezistorů.

Výsledný proud bude součtem proudů jednotlivými rezistory.

I₁ = U/R₁ = 12/1 = 12 mA                     I₂ = U/R₂ = 12/4 = 3 mA

I₃ = U/R₃ = 12/2 = 6 mA                      I = I₁ + I₂ + I₃ = 12 + 3 + 6 = 21 mA

R = U/I = 0,571 kΩ

2. způsob: Vypočítat výsledný odpor a z něj pak proud

1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃ = 1 / (1 + 0,25 + 0,5) = 1/1,75              R = 0,571 kΩ

 

Obrázek: a/ paralelní, b/ sériové řazení více rezistorů

Vidíme, že řešit elektronické obvody můžeme různými způsoby, všechny musí vést ke stejným výsledkům.

 

Sérioparalelní řazení rezistorů

Při řešení složitějších obvodů provádíme jeho zjednodušení podle pravidel o sériovém a paralelním řazení rezistorů. Tento postup si ukážeme na následujících dvou příkladech.

Příklad: Vyřešte následující obvod (obr. a). Vypočítáme výsledný odpor, celkový proud obvodem a případně další veličiny.

R = R₁ + ((R₂par.R₃) par. R₄)               R = 20 + 2,72 = 22,72 W

Celkový proud obvodem I₁ = U/R = 20/22,72 = 0,88 A

Úbytek napětí na R₁ bude U_R1 = R₁ . I₁ = 20 . 0,88 = 17,60 V

Úbytek napětí na R₂ R_3, R₄    U_R2,3,4 = U- U_R1= 20 – 17,6 = 2,4 V

Nakonec vypočítáme proudy

I₂ = U_R2,3,4/R₂ = 2,4/5 = 0,48 A             I₃ = U_R2,3,4/R₃ = 2,4/15 = 0,16 A

I₄ = U_R2,3,4/R₄ = 2,4/10 = 0,24 A

Všimněte si, že platí 1. Kirhoffův zákon I₁ = I₂ + I₃ + I₄ (kdyby náhodou přestal platit, počítejte znovu a pozorněji)

Tento obvod bychom mohli rovněž řešit metodou uzlových napětí. V obvodu je jeden nezávislý uzel, pro který sestavíme rovnici I₁ = I₂ + I₃ + I_4, do které dosadíme:

(U - U_R2,3,4) / R₁ = U_R2,3,4/R₂  + U_R2,3,4/R₃ + U_R2,3,4/R₃ a kterou vyřešíme.

 

Obrázek Sérioparalelní řazení rezistorů

Příklad:Vypočítejte napětí mezi body A a B v obvodu b/

Obvod nejprve zjednodušíme. Sloučíme rezistory R₁ , R₂ a R₅, R₆

R₁, R₂ a_. R_1,2 = 0,5 kΩ, R_5,6 = 3 kΩ

U_A = U_o R₃/(R₃ + R_1,2) = 10 . 3/(0.3 + 0,5) = 3/0.8 = 3,75 V

U_B = U_o R_5,6/(R₄ + R_5,6) = 10.3/6 = 5 V

U_B = U_A = 1,25 V

 

Při řešení (analýze) obvodů bychom si měli uvědomit, že na rozdíl od matematiky nikdy nezískáme přesné (exaktní) řešení. Skutečné rezistory mají výrobní tolerance (v současnosti typicky 1%, dříve 5, 10 nebo 20 %). Jak poznáme později, v mnoha případech není absolutní přesnost příliš důležitá. Přesné řešení složitých obvodů je navíc poměrně složité, někdy vyžaduje i výpočetní techniku. Pokud je to možné, snažíme se proto obvod zjednodušit. Na následujícím příkladu si ukážeme některá pravidla pro zjednodušování.

 

Obrázek: Zjednodušování složitých obvodů

            Hodnota rezistoru R₁ je zanedbatelně malá oproti ostatním rezistorům. Proto jej nahradíme zkratem.

            Rezistor R₂ je paralelně připojen ke zdroji napětí, můžeme jej vynechat. (Na samotném děliči R₁, R₂ je téměř plně napájecí napětí).

            Hodnota rezistoru R₅ je o 2 řády vyšší než hodnoty R₃, R₄, R₆, R_7, R₈. Vynecháním tohoto rezistoru může vzniknout chyba řádově 1%.

            Hodnoty R₁₀ a R₉ jsou mnohem větší než hodnoty R₉ a R₁₀. Podle pravidla o rozdělení proudů paralelně zapojených rezistorech (proudy tekoucí jednotlivými rezistory jsou v převráceném poměru jejich hodnot) můžeme předpokládat, že proud tekoucí před R₉ a R₁₀ bude zanedbatelný oproti proudu tekoucímu přes R₈ a rezistory R₉ a R₁₀ neovlivní podstatným způsobem napětí na R₈. Po zkratování R₁, vynechání R₂ a R₅ a zanedbání R₉ a R₁₀ vypočítáme napětí na rezistoru R₈

U_R8 = U₀ . R₈ / (R₈ + R₇ + R₆) = 5 . 2 / (2 + 5 + 1) = 1,25 V

U_x = U_R8 . R₉/(R₉ + R₁₀) = 1,25 . 1.10⁶/(1,1 . 10⁶) =1,136 V

Tento příklad bychom mohli přesně vyřešit s použitím Theveninovy věty, případně transfigurace trojúhelník, hvězda (viz. dále)

            Nastavit děličem přesnou hodnotu napětí je často obtížné, protože rezistory se vyrábějí v určitých hodnotách – řada E₁₂, E₂₄. Je rovněž třeba si uvědomit, že návrh (syntéza) elektrických obvodů nedává jedno možné řešení. Optimální oblast řešení tvoří vždy určitý interval hodnot. Například při návrhu děliče napětí musíme dodržet vzájemný poměr hodnot rezistorů – dělicí poměr. Jejich velikost nemá být příliš malá, aby dělič neodebíral zbytečně velký proud, ani příliš velká, aby při zatížení děliče dalšími obvody se příliš nezměnila hodnota jeho výstupního napětí. Děličem by měl téct naprázdno proud alespoň 10x větší než proud tekoucí do připojeného obvodu.

 

Příklad: Navrhněte dělič napětí z 15 V na 5 V tak, abychom mohli výstupní napětí nastavit v rozsahu 4,5 až 5,4 V. Předpokládám odběr proudu z děliče menší než 10 mikroampér.

            Zvolíme proud děličem naprázdno přibližně 100 mikroampér a dělící poměr 2/1. To znamená R₁+R₂ = 150 kΩ, R₁ = 47 kΩ, R₂ = 100 kΩ a P₁ = 10 kΩ (běžně vyráběné hodnoty). Ověříme, zda výsledek odpovídá zadání, případně upravíme hodnoty součástek.

U_1min = U_o R₁/(R₁ + R₂ + P₁) = 15 . 47/(47+10+100) = 4,49 V (jezdec P₁ vytočen směrem dolů)

U_1max = U_o . (R₁+P₁)/(R₁ + P₁ + R₂) = 15 (47 + 10)/(47 + 10 + 100) = 5,44 V (jezdec P₁ vytočen směrem nahoru)

 

Při návrhu podobných obvodů často děláme tzv. toleranční analýzu. To znamená, že zjišťujeme vliv změn jednotlivých veličin (napětí 15 V) a toleranci součástek (R_1, R₂)

Příklad: Jak se může klesnout hodnota U_o z předcházejícího příkladu, aby U₁ bylo možné nastavit maximálně na 5 V, jsou-li tolerance R₁ a R₂ 5%?

Dosadíme nejnepříznivější případ, tzv. R_1n= 0,95 . 47 = 44,65 kΩ. R_2n = 1,05 . 100 = 105 kΩ, P₁ vytočíme na maximální napětí.

U₁ = 15 . (44,65 + 10) / (105 + 44,65 + 10) = 5,13 V

Dělící poměr (U₁ / U₀ ) je 0,342. Pro minimální napětí 5 V musí být U₀ = 14,61 V.

 

Při návrhu elektronických obvodů nás v určitých případech musí kromě hodnoty rezistorů zajímat i jejich maximální výkonové zatížení, které nesmíme překročit.

Příklad: Jaké nejmenší hodnoty rezistorů bude mít odporový dělič z 30 V na 10 V, pokud chceme použít rezistory s maximálním ztrátovým výkonem 0,6 W?

Na více zatíženém rezistoru R₂ (při stejném proudu je na něm větší napětí než na R₁) bude úbytek napětí 20 V. Pro výkonové zatížení 0,6 W vypočítáme maximální proud, který může téci děličem I_max = P/U = 0,6/20 = 0,03 A = 30 mA

Z této hodnoty vypočítáme součet odporů děliče R₁ + R₂ = U/I_max = 30/30 = 1 kW

Navrhneme jednotlivé odpory tak, aby byl dodržen dělící poměr. Používáme běžně vyráběné hodnoty (řada E12, E24, viz [3])

Vypočtené hodnoty zaokrouhlíme (u R₂ nahoru, aby se maximální výkon nepřekročil) na nejbližší vyráběné hodnoty a pro kontrolu vypočítáme s těmito hodnotami napětí na výstupu děliče. Pokud toto napětí potřebujeme přesně nastavit (jednorázově), přidáváme k rezistorům R₁ a R₂ paralelně další rezistory nebo použijeme odporový trimr.

R₂ = 680 Ω       R₁ = 330 Ω                   U₁ = 30 . 330/(330+680) = 9.8 V

 

Obrázek: a/ dělič napětí s odporovým trimrem                      b/ Obvod s více zdroji napětí

 

Princip superpozice

Pokud v lineárním obvodu působí několik zdrojů současně, určíme napětí nebo proud na libovolném prvku jako součet příslušných napětí nebo proudů vyvolaných jednotlivými zdroji samostatně.

            Napětí nebo proud vyvolaný jednotlivými zdroji samostatně vypočítáme tak, že ostatní zdroje napětí nahradíme zkratem (případně zdroje proudu vyřadíme) a obvod vyřešíme stejně jako u předcházejících případů. (Superpozice platí pouze pro napětí a proud, pro výkon nikoliv – kvadratická závislost na U a I).

Příklad: Vypočítejte napětí Ux

Příspěvek od U₁:                      U_x1 = U₁ . (R_{3 par}R₂)/ (R₁+(R_{3 par}R₂)                 U₂ zkratováno

U_x1  = 10 . 4,29/(4,29 + 20) = 1,76 V

Příspěvek od U₂                               U_X2 = U₂ (R₃ par. R₁)/((R₃par. R₂) + R₂)                      U₁ zkratováno

U_x2 = 5 . 4/(4 + 30) = 0,59 V

U_x = U_x1 + U_x2 = 1,76 + 0,59 = 2,35 V

Pro kontrolu můžeme obvod zkusit vyřešit metodou uzlových napětí, v obvodu je 1 nezávislý uzel, pro který sestavíme rovnici.

(U₁ – U_x)/R₁ + (U₂ - U_x)/R₂ = U_x/R₃

(10 – U_x)/20 + (5 – U_x)/30 = U_x/5      / . 60

30 – 3U_x +10 – 2U_x = 12 U_x

40 = 17 U_x

2,35 = U_x

 

Transfigurace trojúhelník – hvězda (a hvězda – trojúhelník) se používá při zjednodušování obvodů, které není ani paralelní, ani sériové

 

Obrázek: Transfigurace trojúhelník hvězda

R₁₀ = R_aR_c/ (R_a + R_b + R_c)                    R₂₀ = R_a R_b/ (R_a + R_b + R_c)

R₃₀ = R_bR_c/(R_a+Rb + Rc)

R_a = R₁₀ + R₂₀ + R₁₀R₂₀/R₃₀                 R_b = R₂₀ + R₃₀ + R₂₀R₃₀/R₁₀

R_c = R₁₀ + R₃₀ + R₁₀ R₃₀/R₂₀

 

Theveninova věta

Libovolně složitý lineární obvod lze k jeho libovolným dvěma svorkám nahradit obvodem ideálního zdroje napětí U_n v sérii s rezistorem R_n. Napětí U_n bude napětí na těchto svorkách naprázdno.

Vnitřní odpor tohoto zdroje vypočítáme jako odpor mezi výstupními svorkami, pokud je zátěž odpojena, zdroje napětí zkratovány a zdroje proudu odpojeny.

Odvození provedeme pro její nejjednodušší a taky nejčastější aplikaci – dělič napětí.

Pro uzel A platí 1.Kirhoffův zákon

I₁ – I₂ – I_z = 0                                                  I_z = proud do zátěže

(U₀–Uz) / R₁  -  U_z/R₂  -  I_z = 0 vynásobíme R₁R₂

(U₀–U_z) R₂  -  U_zR₁  -  I_zR₁R₂ =0

(U₀ R₂ – U_z(R₁+R₂) - I_zR₁R₂ =0

Napětí na zátěži U_z = U₀R₂ / (R₁+R₂) – I_zR₁R₂ / (R₁+R₂)

Můžeme jej rovněž vyjádřit ve tvaru U_z = U_n – R_nI_z

U_n = U R₂ (R₁+R₂)       napětí naprázdno na děliči

R_n = R₁R₂ / (R₁+R₂)     paralelní spojení R₁ a R₂.

 

Obrázek: Odvození Theveninovy věty

 

Nortonova věta

Libovolný obvod složený z lineárních prvků lze nahradit vzhledem k libovolným dvěma svorkám obvodem obsahující ideální zdroj proudu I₀, ke kterému paralelně připojíme rezistor R_i

I₀ je proud, který by procházel zkratovanými výstupními svorkami. Odpor R_i vypočítáme jako odpor mezi výstupními svorkami, pokud je zátěž odpojena, zdroje napětí zkratovány a zdroje proudu odpojeny.

 

Obrázek          a/ Grafické řešení nelineárních obvodů

                        b/ Obvod zjednodušený podle Nortonovy věty

                        c/ Obvod zjednodušený podle Theveninovy věty

Příklady na Theveninovu větu a řešení nelineárních obvodů najde čtenář v [3]

 

 

Řešení nelineárních obvodů

Obvod obsahující alespoň jeden nelineární prvek je nelineární. Nejznámější nelineární prvky jsou žárovka (průchodem elektrického proudu se její vlákno rozžhaví a zvětší svůj odpor), termistor (vyroben z materiálu o vysokém – záporném teplotním součiniteli vodivosti, s rostoucí teplotou klesá jeho odpor, pozistor (s rostoucí teplotou roste odpor), varistor (s rostoucím napětím a intenzitou elektrického pole uvnitř jeho struktury se otvírá, slouží jako přepěťová ochrana.

Mezi nelineární součástky patří všechny polovodiče – diody, tranzistory, integrované obvody.

Matematické řešení takových obvodů, např. metodou smyčkových proudů nebo uzlových napětí by bylo velmi obtížné. Především bychom k němu museli znát matematickou rovnici VA (voltampérové) charakteristiky tohoto prvku I = f (U), kterou nemáme vždy k dispozici.

VA charakteristiky nelineárních prvků získáváme nejčastěji měřením (schéma měřícího obvodu viz kapitola Ohmův zákon). Obvykle na osu x vynášíme napětí, na osu y proud. Pokud ji u daného prvku nenajdeme v katalogu výrobce, můžeme si ji sami odměřit.

Máme-li nelineární prvek připojen do obvodu s lineárními součástkami (zdroje napětí, zdroje proudu, rezistory), snažíme se celé zapojení zjednodušit pomocí Theveninovy věty tak, aby zapojení obsahovalo ideální zdroj napětí v sérii s rezistorem (reálný zdroj), ke kterému je připojen nelineární prvek.

Hledáme pracovní bod P nelineárního prvku, to znamená bod na jeho VA charakteristice určující napětí na tomto prvku a proud jím protékající. Ten leží na průsečíku zatěžovací přímky zdroje a VA charakteristiky nelineárního prvku. Zatěžovací přímka zdroje je určena napětím naprázdno U_o a proudem nakrátko I_k, kde I_k = U_o / R_i (viz výše uvedený obrázek)

 

Spojíme-li dva prvky, z nichž alespoň jeden je nelineární, do série, získáme jejich výslednou VA charakteristiku nejlépe jejich grafickým sečtením. Proud, který jimi protéká, je stejný. Graficky sečteme napětí na jednotlivých prvcích v co největším počtu bodů, ze kterých vytvoříme výslednou charakteristiku.

Při paralelním zapojení postupujeme obdobně. Napětí na obou prvcích je stejné, sčítáme proudy tekoucí přes jednotlivé prvky.

 

Obrázek č. Sériové a paralelní zapojení s nelineárními součástkami

 

 

Současně s touto publikací doporučuji studovat Kurz základů elektroniky (64 stran), který obsahuje navíc magnetismus, základy silnoproudé techniky (motor, generátor), podrobný popis nelineárních obvodů, diody, tranzistory, tyristory a řešení obvodů RLC pro více kmitočtů (amplitudová a fázová kmitočtová charakteristika). Obě publikace jsou vhodné pro 1. a 2. ročník SPŠE.

Základní elektronické obvody a zařízení (63 stran) obsahují základní znalosti probírané na SPŠE ve 3. ročníku – zdroje, zesilovače, oscilátory, základy číslicové techniky, příklady, rady začínajícím „bastlířům“.

Všem studentům doporučuji po zvládnutí teoretických základů začít co nejdříve s praktickou činností. Teorie přestane být nudnou, jakmile na vlastní kůži poznáme její důležitost pro praxi. Základem úspěchu je totiž důkladné pochopení realizovaného obvodu.

Pro začátek je nejvhodnější publikace Konstrukční návody, kde jsem popsal jednotlivá zapojení velmi důkladně. Všem zájemcům o tento obor doporučuji postavit si podle ní stabilizovaný zdroj, který bude jistě užitečný při dalších pokusech. Dále zde čtenář najde různé blikače, jednoduchý generátor, metronom, indikátor napětí autobaterie.

 

Postavit si vlastní zesilovač není nic složitého. Oproti koupi hotového přístroje je zde nejen úspora financí, ale získané zkušenosti jsou k nezaplacení. Radost z úspěchu dodá chuť k další činnosti. Problematikou elektroakustiky se zabývám v publikacích:

Postavte si zesilovač (33 stran) – konstrukce nf zesilovače 2x15 W, různé typy předzesilovačů, stereo ekvalizer 2x4 pásma, kvadrofonní adaptor, 2pásmové reprosoustavy

Doplňky nf zesilovače(34 stran) Zesilovač 2x50 W, mixpult 4vstupy (citlivost, basy výšky, hlasitost), indikátory vybuzení, barevná hudba

Zapojení s analogovými obvody (35 stran)

Teorie koncových zesilovačů, parametry OZ, princip stereofonního rozhlasu. Konstrukce: Přijímač FM, stereodekodér, zesilovač s LM 386, logická sonda, směšovač, mixážní pult (modulový systém)

Elektronika pro hudebníky (38stran)

Princip syntézy zvuku, příklady zapojení. Konstrukce: metronom („kyvadlo“ z LED, 9.pásmový equalizer (umělé indukčnosti), mono předzesilovač (pro kytaru nebo mikrofon), koncový stupeň s LM3886 (jeden IO, 50 W), booster

Že předmět Elektronická měření není zas tak příliš složitý ukazuje publikace Měření elektrických veličin, kde se vše vešlo do 24 stran.

Operační zesilovač a obvod NE555 patří k základům analogové techniky. K jejich důkladnému poznání slouží publikace Aplikace moderních integrovaných obvodů (41 stran).

Zájemce o číslicovou techniku jistě zaujme publikace Vlastnosti a užití CMOS obvodů (46 stran). Při popisu obvodů řady 40xx a 45xx se čtenář dozví, jak fungují logické členy, klopné obvody, čítače, dekodéry, registry a multiplexery. Několik praktických konstrukcí (poplašné zařízení, časový spínač, běžící světlo, měřič kmitočtu)mu ukáže jejich použití.

Další publikace Aplikovaná elektronika (64 stran)  se zabývá spínanými zdroji, OZ v automatizační technice (můstkové zapojení), přehled obvodů HC (HCT) 74 xx, odrušováním. Konstrukce: Termostat, měřič kmitočtu, detektor kovových předmětů, snímač pohybu.

Elektronické přístroje (93 stran) umožní čtenářům pochopit bez složité matematiky automatizační techniku a chování regulovaných soustav (hystereze, dopravní zpoždění, překmity) a při té příležitosti si třeba postavit mikropáječku nebo generátor funkcí. Dále zde čtenář najde kapitolu o povrchové montáži (SMT), spínané zdroje, syntézu zvuku, základy elektrotechnologie, TV techniku.

 

 

Elektrostatické pole

            Elektrické náboje, které jsou v klidu, se projevují silovými účinky a vytvářejí elektrické pole. Elektrické náboje jsou kladné (nedostatek elektronů) a záporné (přebytek elektronů). Souhlasné náboje se odpuzují, nesouhlasně přitahují. Coulombův zákon říká, že síla, kterou náboje na sebe působí, je přímo úměrná součinu jejich velikosti a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti

F = k Q₁Q₂/r²(A; N.m².C^-2, C, C, m)   k = 1/(4 π e_o) kde e_o je permitivita vakua (viz dále)

e_o = 8,854 . 10^-12 F/m

Intenzita elektrického pole E je síla působící na jednotkový kladný náboj

E = F/Q (N.C^-1, N, C).

Je to vektorová veličina, která má v každém bodě elektrostatického pole o velikost a orientaci totožnou se smyslem síly, která na kladný jednotkový náboj působí.

            Jednotkou intenzity elektrického pole je N/C (newton/coulomb), v praxi se používá V/m

[F] = J/m = V . A . s/m                        [Q] = C = A . s            [E] = V/m

Intenzita elektrického pole se v každém místě rovná spádu napětí.

Každému bodu elektrostatického pole můžeme přiřadit určitý potenciál (napětí vůči jedné referenční elektrodě). Místa, která mají vzhledem k některé elektrodě stejné napětí, se nazývají ekvipotenciální hladiny.

            Vektor intenzity elektrického pole je vždy kolmý k ekvipotenciálním hladinám. Ve vodičích je téměř nulová hodnota E, viz vztah J = g E. Kdyby tomu tak nebylo, blížila by se hodnota J nekonečnu.

            Přiblížíme-li sobě dvě vodivá tělesa, jedno nabité např. záporným náboje (A), druhé bez náboje (B), nastane v nenabitém tělese posun elektrických nábojů. Poruší se jeho elektrická rovnováha. Volné elektrony jsou odpuzovány do vzdálenější části tělesa, do bližší části k tělesu a jsou přitahovány kladné náboje. Náboje ve vodiči B označujeme jako indukované a celý jev nazýváme elektrostatickou indukcí.

 

Obrázek: Elektrostatické pole

a/ síla působící mezi 2 nabitými tělesy            b/ elektrická indukce 

c/homogenní elektrické pole               d/ nehomogenní elektrické pole

 

Elektrická indukce

Veličinu elektrostatická indukce označujeme D (C/m²). Jedná se o podíl náboje Q indukovaného na ploše S.                   D = Q/S. Jedná se o vektorovou veličinu, její směr je kolmý k ploše v takové poloze, kdy indukovaný náboj je největší.

            Příčinou elektrické indukce je elektrický náboj (který je z tělesa A). Říkáme, že z tělesa A vychází indukční tok Ψ, který se číselně rovná tomuto náboji.

Ψ = Q = D . S

Gausova věta: Indukční tok vycházející z libovolné uzavřené plochy se číselně rovná algebraickému součtu nábojů, které se nacházejí v prostoru omezeném touto plochou.

 

Příklad: Elektrostatické pole má konstantní intenzitu elektrického pole 15 kV/m. Jaké je napětí mezi 2 vodiči, které jsou od sebe vzdáleny 5 cm?

U = E l = 15 . 0,05 = 0,75 kV = 750 V

 

Příklad: V prostoru mezi deskami je elektrická indukce 0,1 C/m². Plocha desek je 30 cm². Vypočítejte náboj na deskách

Q = D . S = 0,1 . 30 . 10^-4 = 3 . 10^-4C

 

            Elektrostatické pole zobrazujeme pomocí elektrických siločar. Jsou to myšlené čáry, které sledují směr silového působení těles. Začínají a končí vždy na povrchu vodivých těles.  Jejich smysl je shodný se směrem pohybu kladného náboje vloženého do pole. V elektrostatickém poli neexistují uzavřené siločáry. Siločáry se nikdy neprotínají.

            Na siločáry jsou kolmé tzn. ekvipotenciály – křivky spojující místa se stejným elektrickým potenciálem.

            V homogenním elektrostatickém poli jsou siločáry rovnoběžné. Intenzita elektrického pole je zde konstantní. Příkladem je pole mezi 2 rovnoběžnými deskami kondenzátoru.

            V nehomogenním elektrickém poli není hustota indukčních čar stejná, intenzita není konstantní. Příkladem je elektrostatické pole mezi 2 opačně nabitými koulemi, mezi 2 vodiči, mezi dvěma soustřednými válci (koaxiání vodič).

 

Homogenní a nehomogenní pole

Mezi intenzitou elektrického pole a elektrickou indukcí platí vztah D = e E, e se nazývá permitivita dielektrika

D = e_o e_r E, kde e_o je permitivita vakua 8, 854 . 10^-12F/m a e_r je relativní permitivita (bezrozměrná).

            Permitivita je charakteristickou vlastností izolantů (jako u vodičů vodivost). V izolantech jsou elektrické náboje (elektrony) vázány na pevné místo. V izolantech může existovat elektrické pole které je polarizuje. Uvnitř atomů nebo molekul dochází k posunu nábojů, vznikají dipóly.

            Relativní permitivita popisuje schopnost dielektrika se polarizovat působením elektrostatického pole. Relativní permitivita vyjadřuje, kolikrát je intenzita elektrického pole v dielektriku menší než ve vakuu. Vztah mezi D a E je u většiny materiálů lineární. Při překročení elektrické pevnosti se u dielektrika roztrhnou vazby mezi náboji, nastává průraz, dielektrikum se začne chovat jako vodič. Elektrická pevnost je důležitou vlastností izolantů, závisí na teplotě, vlhkosti, apod. Typické hodnoty jsou pro vzduch 2 až 3 kV/mm, olej 20 - 30 kV/mm, polystyrén, sklo, slída 20 - 80 kV/mm.

            Pokud potřebujeme odstranit elektrostatické pole z určitého prostoru, obklopíme jej vodivým krytem – stínící kryt. Elektrostatické pole nemůže existoval uvnitř vodivého prostoru, elektrické siločáry vždy končí na povrchu vodiče.

 

Obrázek Polarizace           a/ atom nepolarizovaného dielektrika         b/ polarizovaného dielektrika        c/ princip stínění

            Kapacita je schopnost vodiče vázat určitou velikost náboje při jednotkovém napětí. Součástky, jejichž základní vlastnost je kapacita, se nazývají kondenzátory. Jednotkou kapacity je farad F. Kondenzátor má kapacitu 1 F, jestliže při napětí 1 V udrží náboj 1 C. C = Q/U.

            V základní podobě tvoří kondenzátor 2 vodivé, rovnoběžné desky. Prostor mezi nimi je vyplněn dielektrikem.

            Odvodíme vztah pro výpočet kapacity z rozměrů kondenzátoru. S = plocha desek, d = vzdálenost mezi nimi.

Q = D.S = e_oe_r E.S = e_o  e_r S . U/d

C = Q/U = e_oe_r .S/d

Jako dielektrikum se používá kondenzátorový papír, slída, keramika, plastové folie:

U elektrolytických kondenzátorů tvoří dielektrikum tenká vrstva vrstva kysličníku na povrchu hliníkové nebo tantalové elektrody. Ta se vytváří a udržuje působením elektrického proudu, je-li elektroda ponořena ve vhodném elektrolytu. Vývody těchto kondenzátorů jsou označeny + a -. Případná jejich záměna (přivedení napětí opačné polarity) by způsobila depolarizaci této vrstvy a tím zničení kondenzátoru.

            Protože základní jednotka kapacity je příliš velká pro běžné použití, používají se menší jednotky: mikrofarad μF (10^-6 F), nanofarad nF (10^-9 F) a pikofarad pF (10^-12 F). Za základní jednotku se často považuje v praxi pikofarad. Je-li např. ve schématu u kondenzátoru napsáno 100, znamená to 100 pF, 22 n znamená 22 nF, M1 = 0,1 mikrofaradu = 100 nF, 10 M (10 u) = 10 mikrofaradů, 2m2 = 2,2 milifarady = 2 200 mikrofaradů. Často se značí hodnota kondenzátorů číselným kódem. Např. 332 znamená 33.10² (pikofaradů) = 3,3nF. 104 = 10 . 10⁴pF = 100 nF, apod.

            Ze vzorce pro výpočet kapacity kondenzátoru vyplývá:

Kapacita je úměrná ploše elektrod a nepřímo úměrná jejich vzdálenosti. Dielektrikum svojí polarizací zvětšuje kapacitu – schopnost vázat elektrický náboj. Plochu elektrod zvětšujeme svitkovým uspořádáním.

 

Příklad: Stanovte kapacitu rovinného kondenzátoru S = 10³ cm² , d = 0,2 mm, e_r = 5

C = e_oer S/d = 5 . 8,854 .1 0^-12. 10^-1/(0,2 . 10^-3) = 22,13 . 10^-9 F = 22,13 nF

Příklad: Plocha elektrod kondenzátoru je 6 . 10⁴cm², vzdálenost mezi nimi 0,5 mm. Jaká musí být minimální permitivita dielektrika, aby kapacita kondenzátoru nebyla menší než 470 nF?

C = 6 . 8,854 . 10^-12/0,5 . 10^-3 = 106,25 nF          kapacita vzduchového kondenzátoru

e_r = C_{s diel.}/C_{bez dielektrika} = 470/106,25 = 4,42

Jaké bude průrazné napětí tohoto kondenzátoru, je-li průrazné napětí dielektrika 40 kV/mm?

U_průrazné = E_p . d = 40 . 0,5 = 20 kV.

Maximální povolené napětí na kondenzátoru musí být pochopitelně výrazně menší než takto vypočtená hodnota. Je třeba brát v úvahu výrobní tolerance, vliv nečistot, vlhkosti, teploty apod. S rostoucí tloušťkou dielektrika vzrůstá průrazné napětí kondenzátoru, vzrůstá ale i jeho velikost.

 

Sériové a paralelní spojení kondenzátorů.

 

           

Obrázek Zapojení kondenzátorů a/ paralelní b/ sériové

Při paralelním spojení je na všech kondenzátorech stejné napětí, náboj se rozdělí v poměru kapacit

Q₁ = C₁.U        Q₂ = C₂.U        Q = (C₁+C₂) . U           C = C₁+C₂

Při paralelním spojení kondenzátorů je výsledná kapacita součtem jednotlivých kapacit.

Při sériovém zapojení kapacit náboj přivedený na první kondenzátor váže stejný náboj na druhém kondenzátoru. V dielektrikách bude stejný indukční tok, na všech kondenzátorech bude stejný náboj. Toto spojení můžeme nahradit jedním kondenzátorem o kapacitě C na kterém bude napětí

U = U₁ + U₂      Q/C = Q/C₁ + Q/C₂

1/C = 1/C₁ + 1/C₂                   C = C₁C₂/(C₁+C₂)

Při sériovém spojení kondenzátorů se podobně jako u paralelního zapojení rezistorů sčítají jejich převrácené hodnoty.

U složitějších zapojení provádíme zjednodušování podobným způsobem jako u rezistorů.

 

 

Obrázek Řešení obvodů s kondenzátory

 

Příklad: Vypočítejte výslednou kapacitu obvodu z obr.a.

C_2,3 = C₂ + C₃ = 47 + 22 = 69 nF

C = C_2,3 . C₁/(C_2,3+C₁) = 40,8 nF

Příklad: Vypočítejte výslednou kapacitu obvodu z obr.b.

Tolerance vyráběných kapacit bývá typicky ±20%. Při zjednodušování obvodů nemá smysl počítat s příliš velkou přesností. Zapojení z obr.b můžeme zjednodušit vynecháním C₄ a C₅ (jejich sériové spojení má  kapacitu mnohem menší, než je kapacita C₂) a zkratováním C₁ (jeho kapacita je mnohem větší než ostatní kapacity), můžeme je tedy zanedbat. Výsledná kapacita bude přibližně C = C₂ C₃/(C₂+C₃) = 10 . 2,2/(10+2.2) = 1,8 nF.

 

Příklad: Ke kondenzátoru 100 mikrofaradů, který byl nabit na 40 V byl paralelně připojen kondenzátor 220 mikrofaradů, který byl nabit na napětí 10 V. Jaké bude výsledné napětí na spojených kondenzátorech?

Platí zákon zachování elektrického náboje Q = Q₁ + Q₂  = C₁ . U₁ + C₂. U₂ =

= 0,1.10-³ . 40 + 0,22 . 10-³ . 10 = (4 + 2,2) . 10^-3 = 6,2 . 10^-3 C

Z náboje a výsledné kapacity, která je součtem obou kapacit, potom vypočítáme hledané napětí: U = Q/(C₁ + C₂) = 6,2 . 10^-3 /(0,1 + 0,22) . 10^-3) = 6,2/0,33 = 18,79 V

 

Složená dielektrika

Jsou-li 2 desky odděleny z dielektriky vedle sebe s relativními permitivitami e_r1 a e_r2, chová se zapojení jako dva paralelně zapojené kondenzátory. Elektrickou pevnost určuje dielektrikum s menší elektrickou pevností.

            U kondenzátoru s vrstveným dieleketrikem (2 dielektrika za sebou), bude v obou dielektrikách stejná indukce D (D = Q/S).

Intenzita elektrického pole v obou dielektrikách vypočítáme ze vztahu E = D/e₀e_r

V dielektriku s menší permitivitou je větší intenzita elektrického pole a naopak. Tato izolace se chová jako dva kondenzátory zapojené do série.

 

Energii elektrostatického pole vypočítáme ze vztahu We = CU²/2. Dodaná energie se spotřebuje na polarizaci dielektrika. Jedná se o práci potřebnou k přenesení náboje na kondenzátor.

            Úpravou tohoto vztahu získáme vztah pro objemovou energii

We = QU/2      Dosadíme Q = eES a U = El

We = eE² Sl       Sl = V – objem kondenzátoru S . l

We/V = DE/2 objemová energie kondenzátoru

 

Příklad: Deskový kondenzátor, jehož desky byly od sebe vzdáleny 1 mm se nabil na U_o = 10 V. Jaké bude jeho napětí po oddálení desek na 2 cm?.

            Platí zákon zachování elektrického náboje Q_o = Q₁. Kapacita kondenzátoru se zmenšila 20x C₁ = O,05 C_o      C_oU_o = C₁U₁     U₁ = 20 U_o  = 200 V.

Z tohoto příkladu vidíme, že statické napětí o vysoké hodnotě může vzniknout prakticky „z ničeho“. Elektrické náboje vznikají mechanickým třením nestejnorodých látek (pohyb dopravních pásů, pohyb sypkých materiálů, v tiskárnách, v letadlech, v automobilech). Mezi elektrostatické jevy patří i blesky.

            Problémy přináší elektrostatický náboj při práci s těkavými hořlavými látkami a při práci s některými typy polovodičů (technologie MOS).

            Před škodlivými účinky těchto nábojů se chráníme těmito způsoby: vodivým pospojováním a uzemněním kovových částí přístrojů, použitím vhodných (polovodivých) podlahových krytin (antistatické linoleum), vhodnou podložkou na pracovním stole, vhodná obuv a oblečení (bavlna, nikoliv umělá vlákna), zvýšením vodivosti vzduchu – zvlhčení, ultrafialové záření.

 

Příklad: Vybitý kondenzátor o kapacitě 5 mF se nabíjí proudem 1 mA po dobu 3 s. Na jaké napětí se nabije?

Q = I . t = 3 . 10^-3 C      náboj, na který se kondenzátor nabije    

U = Q/C = 3 . 10^-3/(5 . 10^-3) = 0,6 V.

 

Příklad: Kondenzátor o kapacitě 10 mF je nabit na 5 V. Jak dlouho může dávat do zátěže proud 40 μA, než jeho napětí poklesne na 3 V? (Předpokládáme, že vybíjecí proud je konstantní a nezávislý na napájecím napětí).

            Při poklesu napětí o 2 V klesne náboj kondenzátoru o ÑQ = C . ÑU = 10^-2 . 2 = 20 mC

t = Q/I = 20 . 10^-3/(40 . 10^-6) = 0,5 . 10³ = 500 s

Z tohoto příkladu vidíme, že kondenzátor o velké kapacitě může pro určitou dobu (např. při výpadku síťového napětí) fungovat u zařízení s nízkou spotřebou (např. obvod měření času, paměť nastavených hodnot) jako záložní zdroj energie (místo baterie).

            V této kapitole jsme pracovali s tzn. ideálním kondenzátorem, který je bezedrátový. Ve skutečném kondenzátoru existuje určitý svodový odpor mezi elektrodami (dielektrikum má určitou vodivost). Ten způsobí, že se nabitý kondenzátor po určité době sám vybije (náhradní schéma kondenzátoru viz dále paralelní obvod RC, na vyšších kmitočtech se uplatní i indukčnost).